Oberstufe

Vektorgeometrie / Analytische Geometrie

Vektorgeometrie (auch „analytische Geometrie“ genannt) befasst sich mit linearen Berechnungen in Räumen (meist im dreidimensionalen Raum). Die Objekte, mit denen man rechnet sind Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln. Diese untersucht man auf gemeinsame Punkte (Schnittpunkte) und berechnet Abstände. Das macht eigentlich schon 80% der Vektorgeometrie in der Schule aus.

 

Das war eine kurze Einführung in dieses Thema. Damit du es komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

[V.01] Vektorgeometrie-Grundlagen: Punkte, Geraden, Ebenen und mehr

Allgemeine Grundlagen der Vektorgeometrie rund um Punkte, Geraden und Ebenen. Geraden und Ebenen aufstellen, Ebenenformen umwandeln, etc..

 

[V.02] Schnittmengen berechnen

Eine Schnittmenge zu berechnen, bedeutet Geraden und Ebenen auf Schnittpunkte und Schnittgeraden zu überprüfen. Dieses nennt man auch „gegenseitige Lage“ bestimmen. Wichtig sind gegenseitige Lage von zwei Geraden, gegenseitige Lage einer Gerade mit einer Ebene und die gegenseitige Lage zweier Ebenen. Die gesuchten Lösungen (bzw. den Lösungvektor) berechnet man immer Gleichungen oder Gleichungssystemen.

 

[V.03] Abstände berechnen

Es gibt drei wichtige Abstände: 1.Abstand Punkt-Punkt, 2.Punkt-Gerade, 3.Abstand Punkt-Ebene. Die Entfernung von allem anderen führt man auf diese ersten drei zurück. (Ausnahme bilden zwei windschiefe Geraden. Man kann deren Abstand berechnen, in dem man entweder eine Formel anwendet oder die Lotfußpunkte bestimmt.)

 

[V.04] Spiegeln von Punkt, Gerade und Ebene

Man kann alles Mögliche spiegeln. Alles wird jedoch auf die drei Basisfälle zurückgeführt: Punkt an Punkt spiegeln, Punkt an Gerade spiegeln und Punkt an Ebene spiegeln und diese wiederum führt man auf Spiegeln Punkt an Punkt zurück. Spiegeln ist nicht so schwer.

 

[V.05] Diverse Themen wie Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Dreiecksfläche und mehr

Hier sind nur ein paar Themen, die sonst nirgendwo sonst reinpassen. Winkel, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Dreiecksflächen und diverses Anderes.

 

[V.06] Kreis und Kugel mit Kreisgleichung und Kugelgleichung

Eine Kreisgleichung lautet: (x1-m1)^2+(x2-m2)^2=r^2 und eine Kugelgleichung lautet: (x1-m1)^2+(x2-m2)^2+(x3-m3)^2=r^2. Man kann ganz viele, lustige Sachen damit machen. Bemerkung: Ein Kreis oder eine Kugel ist in Mathe immer ein Hohlkreis bzw. eine Hohlkugel (das Innere gehört also nie dazu).

 

[V.07] Pyramiden berechnen

Sämtliche Theorien der Vektorgeometrie fließen in Aufgaben zu Pyramiden ein. Eine Aufgabe zu einer Pyramide ist also so eine Art Anwendungsaufgabe in der Vektorgeometrie.

 

[V.08] so löst man geometrische Aufgaben mit Parameter

Bei Aufgaben, die einen Parameter enthalten, muss man die genauen Vorgehensweisen der Rechnungen kennen, also den Rechenweg. „Wie würde ich diese Aufgabe rechnen, wenn KEIN Parameter drin vorkommen würde.“ Genau gleich rechnet man jetzt MIT Parameter. Alles bleibt gleich, es wird nur eine Stufe hässlicher, da man ständig den Parameter mit sich rumschleppen muss. Meist läuft es darauf raus, dass zwei Sachen einen bestimmten Abstand haben sollen oder ein bestimmtes Schnittverhalten an den Tag legen sollten (parallel oder identisch etc..)

 

[V.09] Anwendungsaufgaben mit Rechenbeispielen

Es gibt die ein- oder andere Anwendung der Vektorgeometrie, die in der Schule und im Studium regelmäßig angewendet werden: „Pyramiden“ (siehe Kap.V.07), „Flugzeugaufgaben“ (sie heißen auch „U-Boot-Aufgaben“ oder sonstwie) und „Projektionen“ ( „Schattenaufgaben“, wo immer ein Lichtstrahl rumfliegt und irgendwo hinfällt)

 

[V.10] Beweise über die Vektorgeometrie

Es gibt in der Mathematik den ein oder anderen Beweis, den man nur über die vektorielle Geometrie führen kann. Einige dieser Beweisverfahren werden wir hier vorstellen. 1. Wir werden prüfen, ob Vektoren „linear abhängig“ oder „linear unabhängig“ sind („Linearkombinationen“ hängen damit zusammen) 2. Wir werden „Teilverhältnisse“ bei Strecken und Geraden berechnen 3. Wir werden Teilverhältnisse über „geschlossene Vektorzüge“ berechnen und 4. Wir werden Beweise mit Hilfe vom „Skalarprodukt“ führen.