Oberstufe

Stochastik | Wahrscheinlichkeit, Statistik

Stochastik ist der Oberbegriff für „Statistik“ und „Wahrscheinlichkeitsrechnung“. Der Übergang von Statistik und Wahrscheinlichkeit ist fließend, d.h. es gibt viele gemeinsame Bereiche, die schwer nur dem einen oder dem anderen zuzuordnen sind.

Die Statistik beschäftigt sich tendenziell eher mit dem Sammeln von Daten und dem Versuch diese sinnvoll zu struktuieren.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung geht davon aus, dass man bereits Fakten kennt und versucht Vorhersagen zu treffen. Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen die Körpergröße der Gesamtbevölkerung ermitteln. Zuerst sammeln wir Daten von vielen Leuten (wahrscheinlich von mehrere Tausend.

 

Mit Hilfe der Statistik können wir dann z.B. sagen: 30% der Bevölkerung sind kleiner als 170cm.

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann ich dann komplexere Aussagen treffen, z.B. mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einem Grüppchen von 18 Personen alle zwischen 165cm und 175cm?)

Viele Schüler/Studenten mögen Stochastik anfangs nicht, da man nicht so arg nach „Schema F“ gehen kann, wie in den meisten anderen mathematischen Bereichen. Bei vielen Aufgaben muss man schlichtweg „denken“ und sich fragen, was in der Aufgabe eigentlich passiert und wie man das Ganze angehen könnte. Stochastik wird in allen Berufen und Wirtschaftszweigen immer wichtiger und gewinnt daher in den letzten Jahren auch in der Schule und Hochschule SEHR stark an Bedeutung.

Damit du das alles komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

 

[W.11] Stochastik, Statistik, Wahrscheinlichkeit: Allgemeine Erläuterungen und Definitionen, die man wissen sollte

In diesem Kapitel kämpfen wir uns durch die Erläuterungen und Definitionen. Also: Was für Begriffe gibt es in der Stochastik, was ist ein Mittelwert, eine Standardabweichung, wie zeichnet man die wichtigsten Diagrammtypen ein (z.B. ein Venn-Diagramm), …

 

[W.12] Kombinatorik

Eine Wahrscheinlichkeit muss fast immer mit irgendeiner Anzahl von Möglichkeiten, sprich Vertauschungen (=Kombinationsmöglichkeiten) multiplizieren. D.h., dass Vertauschungsmöglichkeiten sehr wichtig sind. Leider kann man nicht alle Kombinationsmöglichkeiten des Universums mit 2, 3 Formeln berechnen. Daher gibt es eine halbe Wissenschaft zu diesem Thema, die „Kombinatorik“.

 

[W.13] Wahrscheinlichkeitsrechnung veranschaulichen mit Baumdiagramm oder Vierfeldertafel

Die einfachste Möglichkeit, eine Sachverhalt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu veranschaulichen, ist ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel. Hier zeigen wir, wie's geht.

 

[W.14] Standard-Experimente

Eigentlich rechnet man einen Großteil der Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit den immer gleichen Standard-Aufgaben: Würfel, Glücksräder, Urnen (denen entweder mit oder ohne Zurücklegen farbige Kugeln entnommen werden). Hinzu kommen noch diverse Bernoulli Experimente, also Experimente, in denen es nur zwei Ausgangsmöglichkeiten gibt und in denen die Wahrscheinlichkeit gleich bleibt.

 

[W.15] die wichtigsten Formeln in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die wichtigsten Formeln der Wahrscheinlichkeit haben wir in dieses Kapitel gepackt. Die meisten Aufgaben kann man in der Wahrscheinlichkeit zwar ohne Formeln bzw. mit sehr wenig Formeln lösen (man muss leider dafür mehr nachdenken). Für einiges braucht man jedoch sehr wohl Formeln. Zu den wichtigsten gehören: der Additionssatz, stochastische Abhängigkeit/Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Erwartungswert (und ggf Tschebyschew-Ungleichung).

 

[W.16] Binomialverteilung (Ziehen mit Zurücklegen)

Die Binomialverteilung gehört zu den wichtigsten Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Man wendet sie an, wenn es nur zwei möglichen Ausgänge gibt und wenn sich die Wahrscheinlichkeit nie ändert (also bei Ziehen mit Zurücklegen). Man berechnet mit ihr die W.S. eine ganz bestimmte Anzahl von Treffern zu erzielen. (Die Anzahl der Treffer muss ganzzahlig sein, es geht also um eine diskrete Wahrscheinlichkeit. Für Kommazahlen ist die Normalverteilung zuständig [Kap.W.18]).

 

[W.17] hypergeometrische Verteilung (Ziehen ohne Zurücklegen)

Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann man meistens die sogenannte hypergeometrische Verteilung verwenden. Voraussetzung ist, dass man genau weiß, aus welcher Anzahl sich die einzelnen Gruppen zusammensetzen und wieviel Stück man aus jeder der vorhandenen Untergruppen ziehen will. (Standardbeispiel: In einer Urne sind viele Kugeln in mehreren Farben. Man muss genau wissen, wieviel von jeder Farbe vorhanden ist und man muss genau wissen, wieviel Kugeln von jeder Farbe gezogen werden soll.) Die Formel setzt sich nur aus mehreren Binomialkoeffizienten zusammen. Standardbeispiele sind: Kugeln verschiedener Farben aus einer Urne entnehmen und Lotto.

 

[W.18] Normalverteilung

Die Mehrzahl der zufälligen Ereignisse im Universum sind normalverteilt. Diese Verteilung wird durch eine Funktion beschrieben, durch die Gauß´sche Glockenkurve (das ist nichts Anzügliches). Das Schöne daran ist, dass man (um diese Funktion aufzustellen) nur den Erwartungswert und die Standardabweichung braucht. Man verwendet die Normalverteilung nur bei stetigen Ereignissen (d.h. beliebige Kommazahlen müssen Sinn ergeben). Leider hat die Normalverteilung den Nachteil, dass man auf rechnerischem Weg recht schwer zur Wahrscheinlichkeit kommt. Daher verwendet man Tabellen dazu. Die Hauptanwendung der Normalverteilung in Schule und Studium ist wohl die „Umwandlung“ der Binomialverteilung in die Normalverteilung (Unterkapitel 6.9.4 „Näherungsformel von Moivre-Laplace“)

 

[W.19] Poisson-Verteilung

Die „Poisson-Verteilung“ wendet man vor allem bei Ereignissen an, die eine recht kleine Wahrscheinlichkeit haben. Man nennt die Poisson-Verteilung daher auch „Verteilung der seltenen Ereignisse“. Mit ihrer Hilfe berechnet man, mit welcher W.S. ein Ereignis in EINEM bestimmten Intervall „k“ mal eintrifft. Es gibt nur zwei Größen, die in die Formel einfließen: „k“ (das ist die Häufigkeit mit der das Ereignis eintreffen soll) und „lambda“ (das ist die Häufigkeit mit der man das Ereignis in diesem Intervall durchschnittlich erwartet).

 

[W.20] Konfidenzintervall, Hypothesentest (Irrtumswahrscheinlichkeit)

Eines der wichtigen Themen in der Schule ist derzeit der Hypothesentest bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit. Dabei geht es um die Frage, ob es Zufall ist oder nicht, wenn man bei einem Experiment einen Wert erhält, der sehr weit vom Erwartungswert entfernt ist. Die folgenden Kapitel über Konfidenzintervalle dienen der Vorbereitung auf die Kapitel: „Hypothesentest/Irrtumswahrscheinlichkeit“. Bei allen untergeordneten Kapiteln ist es sehr hilfreich sich jedes Mal eine Skizze von der Glockenkurve mit den angegebenen Bereichen zu machen. (Da es keiner macht, kapierts auch keiner, daher brummt das Nachhilfegeschäft ;-)