Mittelstufe

Analysis | Geraden und Parabeln

Wir beschäftigen uns an dieser Stelle mit den grundlegenden Themen rund um's Koordinatensystem: mit Punkte, Geraden und Parabeln. Wir bestimmen Abstände, Schnittpunkte, stellen Geraden- und Parabelgleichungen auf, zeichnen das ein- oder andere. Kurzum: Alles was man in Realschule und Mittelstufe zum Thema Analysis benötigt.

 

Das war eine kurze Einführung in dieses Thema.
Damit du es komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

[A.01] Punkte und wie man mit ihnen rechnet

Egal, ob man Punkte, Geraden, Funktionen oder was auch immer im Koordinatensystem gegeben hat. Wenn man die irgendwie abändern will (spiegeln, verschieben, Abstände berechnen will, …) führt man das ganz häufig auf Theorien zurück, die man von Koordinaten von Punkten kennt. In diesem Kapitel berechnen wir Mittelpunkte, Steigungen, Abstände zwischen zwei Punkten und Spiegelpunkte.

 

[A.02] Geraden, y-Achsenabschnitt und wie man damit richtig rechnet

Jeder weiß was Geraden sind (hoffentlich). Jede Gerade hat die Form: y=Zahl*x+Zahl, also y=m*x+b oder y=m*x+c oder y=a*x+b oder... Die Zahl vor dem „x“ (die meistens „m“ heißt) ist hierbei die Steigung, die Zahl hinter dem „+“ (die meist „b“ oder „c“ heißt) ist der y-Achsenabschnitt (der Schnittpunkt mit der y-Achse)

 

[A.03] Flächen und Flächeninhalt berechnen

Fast alle Flächen werden auf Dreiecksflächen zurückgeführt. Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks? Es gibt (wie immer) mehrere Möglichkeiten. Wenn Sie Glück haben, ist eine der drei Seiten parallel zur x- oder zur y-Achse. Dann kommt man recht gut über Standardformel A=½*g*h weiter. Wenn zwar keine der Seiten parallel zu den Koordinatenachsen ist, aber die Koordinaten aller Eckpunkte ganzzahlig sind (keine blöden Kommazahlen), so kann man um das Dreieck ein achsenparalleles Rechteck ziehen und von dieser Rechtecksfläche dann drei rechteckige Dreiecke abziehen. Falls auch das nicht geht, kann man noch die lange Flächeninhaltsformel anwenden oder man bestimmt für die Formel A=½*g*h die Grundlinie und die Höhe über Lotgerade. (Die letzte genannte Variante ist etwas umständlich, wird aber am häufigsten verwendet.)

 

[A.04] Parabeln und wie man eine Parabel berechnet

Unter einer Parabel versteht man üblicherweise eine quadratische Parabel, eine Funktion der Form: y=Zahl*x²+Zahl*x+Zahl bzw. y=ax²+bx+c. Parabeln sind neben den Geraden die einfachsten Funktionen und daher recht wichtig. Viele Grundlagenrechnungen von Funktionen werden hier erstmalig angewendet. (Zeichnen von Funktionen, Berechnung von Nullstellen, Verschieben, …). Beginnt eine Funktion nicht mit „x²“ sondern mit höheren Potenzen, nennt man zwar auch Parabel, aber dann „Parabel höherer Ordnung“ oder „Polynom höherer Ordnung“ oder „ganzrationale Funktion höherer Ordnung“. (Statt „höherer Ordnung“ kann man „3.Grades“, „4.Grades“, .. sagen). Irgendeine Gleichung mit (quadratischen) Parabeln nennt man auch „Gleichung zweiter Ordnung“ oder „quadratische Gleichung“.

 

[A.05] Kubische Parabeln

Beginnt eine Parabel mit „x³“ so nennt man sie „Parabel dritter Ordnung“ oder „kubische Parabel“. Bei diesem Funktionstyp verlässt man allmählich die Theorien der quadratischen Parabeln und beginnt mit den Theorien der „richtigen Funktionen“. Normalerweise heißt das: bei der Nullstellenberechnung kommt der Satz vom Nullprodukt ins Spiel („x“ ausklammern), man berechnet Hoch- und Tiefpunkte (über Ableitung), Tangentenberechnung (ebenfalls über Ableitungen), usw.

 

[A.06] Parabel, Hyperbel, Exponentialfunktion: wie man mit den verschiedenen Funktionstypen rechnet

Von manchen Funktionstypen werden schon recht „früh“ diverse Gesichtspunkte betrachtet. Von Parabeln (ganzrationale Funktionen), Hyperbeln und Exponentialfunktionen sind an dieser Stelle hauptsächlich Grenzwertbetrachtungen relevant (Limes) und das ungefähre Aussehen dieser Funktionen im Koordinatensystem. Dazu noch ein paar andere Kleinigkeiten.

 

[A.07] Wachstum berechnen

Es gibt in der Mathematik unendlich viele Wachstumssorten. Vier davon sind so wichtig, dass sie einen Namen erhalten haben: 1. Das lineare Wachstum, 2. Das exponentielle Wachstum, 3. Das begrenzte Wachstum (heißt auch beschränktes Wachstum) und 4. Das logistische Wachstum. Es gibt zwei Möglichkeiten, Wachstumprozesse zu berechnen. Die einfachste (wenn auch umständlichste) Methode verwendet man in der Schule, so ca. 9., 10. Klasse. Die anderen Methoden (die man in der Oberstufe oder im Studium rechnet), sind in Kapitel A.30 zu finden.