Oberstufe

Analysis | Tiefere Einblicke

Im Hauptkapitel „Analysis – Tiefere Einblicke“ behandeln wir Themen, die zwar nicht direkt zur Funktionsanalyse gehören, jedoch völlig regelmäßig als Fragen in Prüfungen und Klausuren mit auftauchen.

 

Das war eine kurze Einführung in dieses Thema.
Damit du es komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

[A.21] Extremwertaufgaben

Unter Extremwertaufgaben werden alle Aufgaben gefasst, in denen etwas am größten oder am kleinsten werden soll (eine Dreiecksfläche, ein Volumen, ein Abstand). Es gibt zur Zeit mehrere Standardaufgaben von so einer Maximierung (oder Minimierung). Diese Extremwerte werden hier vorgerechnet.

 

[A.22] Schnittwinkel zwischen Funktionen berechnen

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1. beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (orthogonal). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)

 

[A.23] Verschieben, Spiegeln, Strecken von Funktionen

Zwei Funktionen heißen „ähnlich“, wenn man eine durch Strecken, Spiegeln oder Verschieben in die andere überführen (=umwandeln) kann. Das das wieviel-fache eine Funktion gestreckt wird, gibt der Streckfaktor an. Es gibt für das Strecken, das Spiegeln und das Verschieben von Funktionen je eine mathematische Vorgehenweise, welche sich zu merken lohnt.

 

[A.24] Funktionenschar, Funktionenschar: was das ist und wie man damit rechnet

Eine Funktionenschar oder Funktionsschar ist einfach eine Funktion, in welcher ein Parameter vorkommt. (Bei einer Funktion „f(x)“ heißt „x“ immer „Variable“, jeder andere Buchstabe heißt „Parameter“ und ist wird wie eine Zahl behandelt). Da man für den Parameter unendlich viele Werte einsetzen könnte, hat man unendlich viele Kurven, die alle ähnlich aussehen und Kurvenschar heißen. Die Funktionsuntersuchung läuft vom Prinzip natürlich gleich ab, wie bei Funktionen ohne Parameter (nur eben etwas hässlicher).

 

[A.25] Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Eine Funktion ist stetig, wenn sie NICHT springt, also kontinuierlich verläuft, wenn man sie also zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Eine Funktion ist differenzierbar (teils sieht man auch die Schreibweise „differentierbar“), wenn sie KEINEN Knick aufweist, wenn sie also überall glatt verläuft. Man kann auch sagen, eine Funktion ist differenzierbar wenn die Funktion UND die ersten Ableitung stetig sind. (Die Funktion ist zweimal differenzierbar, wenn Funktion, erste und zweite Ableitung stetig ist).

 

[A.26] Ungleichungen

Eine Ungleichung hat kein Gleich-Zeichen, sondern ein Ungleichheits-Zeichen, also ein „Kleiner“ oder ein „Größer“-Zeichen (bzw. „kleinergleich“ oder „größergleich“). Man behandelt Ungleichungen genau wie Gleichungen, nur dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt.

 

[A.27] Schaubilder von Funktionen

Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Fragen rund um Schaubilder in den vier Quadranten: 1.verschiedene Schaubilder und verschiedene Funktionsgleichungen sind gegeben und man muss die einzelnen Schaubilder den einzelnen Funktionen zuordnen. 2.nur ein Schaubild ist gegeben und man muss die Funktionsgleichung finden, die dazu passt. (Manchmal ist auch eine Funktion in Abhängigkeit von mehreren Parametern gegeben und nun muss man die Parameter bestimmen). 3.Das Schaubild einer Funktion ist gegeben und man muss das Schaubild der Ableitungsfunktion oder der Stammfunktion zeichnen.

 

[A.28] Umkehrfunktionen

Löst man eine Funktionsgleichung nach „x“ auf, erhält man die Umkehrfunktion (gelegentlich auch „inverse Funktion“ genannt). (Wenn Sie in die Funktion für „y“ eine Zahl einsetzen und dann nach „x“ auflösen, haben Sie das bereits tausendmal gemacht. Wenn Sie die Funktion umkehren (invertieren) ist also nur neu, dass Sie für „y“ nichts einsetzen, sondern stehen lassen.)

 

[A.29] Wie man mit GTR und CAS rechnet

Ein grafischer Taschenrechner (GTR) oder ein Computer Algebra System (CAS) erlaubt natürlich Rechnungen, die von Hand niemals möglich sind (oder zumindest nicht in der kurzen Zeit). Wir machen hier ein paar Beispiele zu solchen Rechnungen. Als Schüler/Student ist es Ihre Aufgabe zu wissen, wie man den GTR/CAS bedient (also: Nullstellen berechnen, Gleichungen lösen, Hoch- Tief- und Wendepunkte berechnen, Tangentengleichungen berechnen lassen, Flächen bzw. Integrale berechnen). Falls Sie nicht wissen, wie das ein- oder andere geht, finden Sie auf der Startseite Links zu kurzen Bedienungsanleitungen für alle gängigen GTR und CAS Modelle der Firmen Casio und TI (=Texas Instruments).

 

[A.30] Wachstum berechnen

Berechnungen zu Wachstum, bzw. Wachstumsprozesse beschäftigen sich mit der Entwicklung von einem Bestand. Eine wichtige Idee dabei ist, dass die Änderung des Bestands (also Zunahme und Abnahme) die Ableitung des Bestands ist. Es gibt unendlich viele Sorten von Wachstum im Universum, jedoch nur vier davon haben einen Namen und sind, mathematisch gesehen, wichtig. 1.Lineares Wachstum, 2.Exponentielles Wachstum, 3.Begrenztes Wachstum, 4.Logistisches Wachstum. Vermutlich werden Sie nicht alle vier Wachstumssorten brauchen.

 

[A.31] Transferaufgaben: praxisbezogene Anwendungsaufgaben für mathematische Probleme

Transferaufgaben, Anwendungsaufgaben, anwendungsorientierte Aufgaben, … Viele Namen für verschiedene Typen von Matheaufgaben, die praxisbezogen sind. Natürlich gibt es schier unendlich viele Typen von Aufgaben, die mathematische Probleme aus dem Alltag beschreiben. An dieser Stelle picken wir uns drei Typen davon aus: 1.Bestandsänderungen (Hauptidee: die Ableitung ist die Änderung des Bestands), 2.Funktionsanpassungen (Die Funktion ist in Abhängigkeit von mehreren Parametern gegeben. Durch verschiedene Angaben erhält man die Parameter.) 3.Physikaufgaben (Die Ableitung der Weg-Funktion ist die Geschwindigkeits-Funktion).

 

[A.32] Näherungsverfahren und Näherungslösungen

Sie werden es vielleicht nicht glauben, aber Mathematik kann man für die Praxis anwenden. Und da reichen meist Näherungslösungen. Es gibt Näherungslösungen um Gleichungen zu lösen (Newton-Verfahren, Intervallhalbierung), es gibt Näherungsverfahren um Flächen/Integrale zu berechnen (Keplersche Fassregel, Simpson-Formel) und man kann komplizierte Funktionen durch einfache Funktionen annähern (mit der Taylorentwicklung).

 

[A.33] Kostenfunktionen

Die Kostenrechnung ist ein Bereich der Wirtschaftslehre. Es geht natürlich um die Produktionsmenge (das ist „x“), dazu gibt es eine Funktion für die Kosten, eine Funktion für die Einnahmen und eine für den Gewinn, wie überall in der Betriebswirtschaft.