Oberstufe

Matrizen

In der Mathematik hat man ganz häufig die Situation, mehrere Unbekannte bestimmen zu müssen, für die es wiederum mehrere Gleichungen gibt. Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten heißen „Gleichungssystem“. Im häufigsten Fall tritt keine Unbekannte quadratisch oder in einer höheren Potenz auf, man spricht daher vom „linearen Gleichungssystem“, offizielle Abkürzung dafür ist „LGS“. LGS haben meist eine sehr klare und einfache Struktur im Aussehen. Man kann also die Schreibweise also gut vereinfachen, z.B. schreibt man oft die Unbekannten gar nicht mehr hin, sondern nur noch die Zahlen die davor stehen. Dann heißt das LGS nicht mehr LGS sondern „Matrix“. (Es heißt also: eine „Matrix“, mehrere „Matrizen“. Es gibt NICHT: eine „Matrize“ oder mehrere „Matrixen“!). Wir Mathematiker haben ganz viele Theorien rund um LGS und Matrizen entwickelt. Da ist eine lustiger als die andere. Viel Spaß damit.

 

Das war eine kurze Einführung in dieses Thema. Damit du es komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

[M.01] Matrizen und Lineares Gleichungssystem: eine kurze hilfreiche Einführung

Hat man mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten, so nennt man das „Lineares GleichungsSystem“ (LGS). Wenn man nun die Unbekannten (x1, x2, y, z, ..) nicht mehr hinschreibt, nennt man das System „Matrix“ (bzw. mehrere Matrizen). Das Ziel eines LGS bzw einer Matrix ist immer die Bestimmung der Unbekannten. Es gibt sehr viele Typen von Aufgaben, die man mit Matrizen löst. Eine Auswahl davon findet sich in diesem Hauptkapitel „M“. Im Kapitel M.01 gibt’s nur allgemeines Gesülze.

 

[M.02] LGS: Lösung mit Gauß-Verfahren

Das gängigste Lösungsverfahren für ein Lineares Gleichungssystem ist das Gauß-Verfahren. Dafür stellt man sich die Diagonale des LGS vor und multipliziert und verrechnet nun die Gleichungen derart, dass man unter der Diagonalen nur noch Nullen hat. Nun kann man die Lösungen von „x1“, „x2“, „x3“, .. bestimmen, welche zusammen den Lösungsvektor bilden.

 

[M.03] Rechnen mit Matrizen

Mit Matrizen kann man die verschiedensten Rechnungen anstellen. Die häufigsten Rechenoperationen sind die Matrizenmultiplikation, das Invertieren von Matrizen (Inverse berechnen), das Transponieren von Matrizen und Lösen von Matrizengleichungen. Diese vier Operationen erläutern wir in den folgenden Kapiteln.

 

[M.04] Determinanten

Eine Determinante ist einfach eine Zahl, die man einer Matrix zuordnet. Determinanten kann man nur bei quadratischen Matrizen ausrechnen! (Bei nicht-quadratischen Matrizen ist die Determinante immer Null.) Ganz pauschal kann man sagen, dass es immer böse ist, wenn die Determinante Null ist. (Ein Gleichungssystem ist nicht lösbar, wenn die Determinante Null ist; man kann eine Matrix nicht invertieren, wenn die Determinante Null ist; gäb´s eine Himmelsmatrix, deren Determinante Null wäre, würde wahrscheinlich der Himmel einstürzen).
Es gibt recht viele Verfahren, um Determinanten zu berechnen. Wir wenden hier ein bestimmtes Verfahren für 2x2-Matrizen an, ein zweites Verfahren für 3x3-Matrizen und ein drittes Verfahren für 4x4- oder noch höhere Matrizen. (Determinanten von 4x4-oder höheren Matrizen brauchen Sie vermutlich nur im Studium und selbst da nicht immer.)

 

[M.05] Wirtschaftsmatrizen (R-Z-E)

Bei sogenannten wirtschaftlichen Anwendungen geht es immer um eine Firma, die Rohstoffe kauft, diese zu Zwischenprodukten umwandelt und diese wiederum zu Endprodukten. Die Übergänge werden durch Wirtschaftsmatrizen beschrieben. Die (RZ)-Matrix beschreibt den Übergang von Rohstoffen zu Zwischenprodukten, die (ZE)-Matrix den Übergang von Zwischenprodukten zu Endprodukten und die (RE)-Matrix den Übergang von Rohstoffen zu Endprodukten. Nennt man die Rohstoffe R, Zwischenprodukte Z und Endprodukte E, so gibt es nur wenige Formeln: (RZ)*(ZE)=(RE); (RZ)*Z=R; (ZE)*E=Z und (RE)*E=R.

 

[M.06] Leontief-Modell (Verflechtungsmatrizen)

Das Leontief-Modell beschreibt die Verflechtung zwischen mehreren Firmen. Jede Firma produziert irgendwelches Zeug, welches an die anderen Firmen abgegeben wird, aber auch teilweise am Markt verkauft wird. Der Zusammenhang zwischen Produktion und Marktabgabe wird durch eine sogenannte „Inputmatrix“ beschrieben. Die Formel dafür lautet: (E–A)*x=y. (E ist die Einheitsmatrix, A die Inputmatrix oder Verflechtungsmatrix, x der Produktionsvektor, y die Abgabe an den Markt).

 

[M.07] Übergangsmatrizen (Populationsmatrizen)

Die meisten Populationen reproduzieren sich im Laufe von Jahren bzw. von Generationen. Wenn die einzelnen Stadien nicht schön der Reihe nach durchlaufen werden, sondern es teils Sprünge zwischen beliebigen Stadien gibt, werden diese Übergänge durch Matrizen beschrieben. Solche Matrizen heißen: „Übergangsmatrizen“ oder „Populationsmatrix“ oder „Leslie-Matrix“ (auch Lesley-Matrix).

 

[M.08] Simplex / Lineare Optimierung

In der „Linearen Optimierung“ geht es um mehrere Ungleichungen, die irgendwie gelöst werden müssen. (Meist geht es um verschiedene Einschränkungen in einem Produktionsbetrieb, das Ziel der Rechnung ist nun die Gewinnmaximierung.) Das Rechenschema, nach welchem man vorgeht, nennt sich „Simplex“-Algorithmus und ist ein bisschen lang. Wenn man nur zwei Unbekannte hat, kann man das Ganze auch recht einfach in einem Koordinatensystem grafisch lösen. Diese grafische Lösung machen wir in diesem Kapitel.