Mittelstufe

Gleichungen

Gleichungen sind mit eines der wichtigsten Werkzeuge, die der Mathematik zur Verfügung stehen. Es gibt viele Standardverfahren, um solche Gleichungen zu lösen. Einige davon zeigen wir Ihnen hier, damit sie nicht mehr vor so vielen unlösbaren Problemen stehen. Damit hilft dieses Kapitel Ihnen mit geringerer Wahrscheinlichkeit von der Brücke zu springen, nur weil Sie eine Gleichung nicht nach „x“ (oder einer anderen Variable) auflösen können. Viel Erfolg beim Lernen :-)

 

Das war eine kurze Einführung in dieses Thema.
Damit du es komplett verstehst, schau dir hier weitere verständlich erklärte Mathe-Videos an:

 

[G.01] Verhältnisse berechnen

Verhältnisse begegnen uns überall im Alltag. Beispiel: Zwei Kugeln Eis kosten 1,60€. Wieviel kosten drei Kugeln Eis? Im Prinzip ist das ein Verhältnis, man kann das Problem allerdings auch als Gleichung betrachten und lösen. Wir betrachten hier also verschiedene Aspekte von Verhältnissen: „Zinsen“, „Dreisatz“ und ähnliches Zeug. In den Grundlagen läuft da sehr viel intuitiv und einfach (siehe Eis-Beispiel). Wir müssen das Ganze jedoch noch auf viel kompliziertere Fälle übertragen. Das machen wir mit Formeln.

 

[G.02] Lineare Gleichungssysteme

In der Mathematik hat man ganz häufig die Situation, mehrere Unbekannte bestimmen zu müssen, für die es wiederum mehrere Gleichungen gibt. Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten heißen „Gleichungssystem“. Für die Schule sind eigentlich nur „Lineare Gleichungssysteme“ (LGS) mit zwei, höchstens mit drei Unbekannten relevant. Am wichtigsten sind LGS mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen (nennt man „2x2-LGS“ [lies: „2 kreuz 2 LGS“]). Es gibt recht viele Lösungswege, um 2x2-LGS zu lösen: Additions-, Subtraktions-, Einsetzungsverfahren und noch weitere. Wir zeigen hier alle Verfahren zur Bestimmung der Unbekannten (bis auf zwei, drei unwichtige, die nur in Timbuktu oder so verwendet werden).

 

[G.03] Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in welcher nur eine einzige Unbekannte auftaucht. Diese Unbekannte taucht auch nur einfach auf, also z.B. als „x“. Sie taucht weder quadratisch auf (als „x²“), noch in einer höheren Potenz, nicht als Bruch und auch sonst nichts Hässliches. Damit sind lineare Gleichungen die einfachsten Gleichungen. Alles mit „x“ auf eine Seite, alles ohne „x“ auf die andere Seite, nach „x“ auflösen und fertig.

 

[G.04] Quadratische Gleichungen

Eine „quadratische Gleichung“ (bzw. „Gleichung zweiten Grades“ oder „Gleichung zweiter Ordnung“) ist eine Gleichung, in welcher die Variable (meist „x“) quadratisch auftaucht. Man sieht in der Gleichung also „x“ und „x²“. Im Koordinatensystem wird so eine Gleichung durch eine Parabel beschrieben (was uns hier jedoch nicht interessiert). Um „quadratische Gleichungen“ zu lösen, gibt es mehrere Möglichkeiten: a) die quadratische Ergänzung b) die p-q-Formel c) die a-b-c-Formel. Die letzten beiden nennt man auch beide „Mitternachtsformel“.

 

[G.05] Gleichungen höherer Ordnung

Es gibt auf der Welt überhaupt nur vier (nennenswerte) Lösungsverfahren um Gleichungen zu lösen. Das Geschickteste ist immer das Ausklammern (falls das geht) (s.Kap. G.04.04 oder G.05.01). Bei quadratischen Gleichungen wendet man die p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel an. Höhere Gleichungen (also Gleichung die eine höhere Ordnung bzw. höhere Potenz haben) kann man mit den anderen beiden Verfahren lösen: mit „Substitution“ oder „Polynomdivision“. Die letzteren beiden sind aber nur für die Oberstufe und für´s Studium wichtig. Wir behandeln sie nicht an dieser Stelle, sondern in Kapitel A.12.

 

[G.06] Bruchgleichungen

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, die im Nenner (unten) ein „x“ enthält. Man bestimmt zuerst die Definitionsmenge, danach multipliziert man mit dem Hauptnenner und erhält zum Schluss eine lineare oder eine quadratische Gleichung, die man „normal“ löst.